基本操作
任何數字系統都有兩個主要運算規則：分別是加法和乘法。 減法和除法是輔助運算。
主要操作定律
所有數字系統都遵循以下五條定律：
- 兩個數字相加的順序並不重要。（加法交換律）
符號示例： ` a + b = b + a. ` - 當多個數字相加時，如何分組並不重要。（加法結合律）
符號示例： ` (a + b) + c = a + (b + c). ` - 兩個數字相乘的順序並不重要。（乘法交換律）
符號示例： ` a times b = b times a. ` - 當多個數字相乘時，如何將它們分組並不重要。（乘法結合律）
符號示例： ` (a times b) times c = a times (b times c). ` -
如果兩個數字和要去乘以第三個數字， 則相當於將兩個數分別乘以第三個數， 然後將兩個結果相加。（分配律）
符號示例： ` a times (b + c) = (a times b) + (a times c). `
操作順序
在數學和電腦程式設計中， 運算順序是一組規則， 反映了首先執行哪些運算 以評估給定數學表達式。 正式化這些規則的操作排序。 操作的排序稱為位次， 位次較高的操作在位次較低的操作之前執行。 若無位次問題計算通常從左到右以順序執行操作，
常規順序
- 括號先算
- 求指數（冪次方和開根號
- 先乘除
- 後加減
BODMAS 和PEMDAS都是描述數學運算順序的首字母縮略詞。
BODMAS 代表括弧、由左而右計算、除法、乘法、加法和減法。
PEMDAS 代表括弧、指數、乘法、除法、加法和減法。
然而，PEMDAS傾向於在美國使用， 而BODMAS是英國使用的通用版本。 但是，並非所有學校都教授這些首字母縮寫詞。
有些人喜歡使用括弧來強調操作的等效性， 然後按照從左到右的順序來決定：
BO(DM)(AS) … PE(MD)(AS)
減法和除法
上述定律不適用於減法或除法或減法和除法 以及加法和乘法的混合計算。
減法
減法可以看成是負數的加法：
` 3 - 2 = 3 + (-2) `
加法定律就成立：
` 3 + (-2) = (-2) + 3 `
除法
除法可以看作是倒數的乘法; 即用 1 除以正在使用的數字。例如：
` 4 ÷ 3 = 4 times 1/3 `
乘法規則就成立：
` 4 times 1/3 = 1/3 times 4 `
零
如果一個數字加零，這個數字就不會改變。
` a + 0 = a `
Unity
數字一執行類似乘法的工作。 任何數字乘以1還是不變：
` a times 1 = a `
負號的規則
乘法：正負號不同
如果兩個數相乘並且它們的正負號不同， 則將它們的絕對值相乘並在前面加上負號。 (絕對值是不考慮正負號的值。 該值有時寫為 `|a|` 這裡的 `a` 是給定的任意數。)
例如： `-7 times 4 = ?`
`|4| times |7| = |28|`
正負號不同，因此答案是 `-28`。
除法：正負號不同
如果一個數除以另一個數並且它們的正負號不同， 則將它們的絕對值相除並在前面加上負號。
例如： `63 ÷ -9 = ?` or `63 ` / ` -9 = ?` or `63 / -9 = ? `
`|63| ÷ |9| = |7|`
正負號不同，因此答案是 `-7`。
乘法和除法：負號相同
對於具有相同負號的數字的乘法或除法， 將絕對值相乘或相除並給答案加上加號。
例如： `-a times -b = ab `
加法
如果正負號一樣就沒有什麼問題
例如： `(-3) + (-4) = -7 `
若符號不同，則求絕對值之差，並在前面加上較大數的正負號 （較大的數是負號則答案就是負值；反之則為正值）。
`-17 + 4 = -13 `
減法
如果一個數字要減去一個負數，被減負數要更改負號為正號(即負負得正)並與前數相加
例如： `52 - (-67) = 52 + (+67) = 119 `
`(-a) - (-b) = -a + (b) = b - a `
指數規則
符號：乘冪指一個數字（底數） 其右上方的小數字。 這整個數字（底數跟小數字的冪次方）合稱為「指數」
例如： 2 的5次方是多少？
`2^5 = 2 times 2 times 2 times 2 times 2 = 32 `
底數是2
而右上方的冪次方是5
。
乘法
如果兩個相同底數的指數相乘， 則將指數相加。(底數相同相乘指數相加)
例如： `a^2 times a^5 = ? `
`a^2 times a^5 = (a times a ) times (a times a times a times a times a) = a^7`
除法
如果一個數字，即某個底數的乘冪，要除以另一個數， 這是同一底數的另一個乘冪，則必須減去指數（底數相同相除指數相減）
例如： `a^5 ÷ a^3 = ? `
`a^5 ÷ a^3 = (a times a times a times a times a) / (a times a times a ) = a^2`
注意底數是 a，指數是 5 和 3， 相減得到新的指數 2
零指數的含義
除法規則要求對指數進行減法：
除法規則要求對指數進行減法： `a^2 ÷ a^2 = a^0 `
但 `a^2 / a^2 = 1` 因此 `a^0 = 1`
規則：任何底數的乘冪取零答案都等於 1。
指數的乘冪
如果三個元素相乘：
例如： `a^2 times a^2 times a^2 = (a times a) times (a times a) times (a times a) = a^6 `
也就是說 `(a^2)^3 = a^(2 times 3) = a^6 `
規則「指數的乘冪」：任一底數取乘冪之後再取冪次方，指數要相乘。 另請注意，指數交換會得到相同的結果；也就是
`(a^2)^3 = (a^3)^2 = a^6 `
分數指數的含義
指數的乘冪為1， 表示該數字應保持原樣即 `a^1 = a`。
兩個底數相同指數的乘法規則 為將乘冪相加。 因此，符合乘冪為整數時的相加規則
`a^(1/2) times a^(1/2) = a^1 = a `
它遵循 `a^(1/2)` 必須是一個數字，其本身相乘得到`a`。 即它必須是 `sqrt(a)`。 從符合「乘冪為整數時的乘法規則」，我們可以如下算式
`(a^(1/2))^2 = a^(1/2 times 2) = a^1 = a`
分數指數，例如 `a^(1/3)` 表示「立方根」，因為
`a^(1/3) times a^(1/3) times a^(1/3) = a^(1/3+1/3+1/3) = a^1 = a `
根據乘冪的乘法規則，`(a^(1/5))^3 = a^(3/5)`，因此等於 `a`的`3`次方開`5`次方根號。
分母給出分數指數的開根號次數， 而分子表示要進行多少次乘法。
例如： 求底數 `a` 的五次方開所八次方根 `a^(5/8) = root{8}{a^5}`
If `a = 256 => 256^(1/8) = 2 ; 2^5 = 32 therefore 256^(5/8) = 32 `
負指數的意義
負指數表示倒數，也就是說， 它顯示任何乘冪的倒數。例子：
`a^(-3) = 1/a^3 `
`2^(-3) = 1/2^3 = 1/8 `
`10^(-1/2) = 1 / 10^(1/2) = 1/sqrt(10) `
二次方程式
二次方程是二階多項式，其中變數的最大乘冪為 2。 這些方程式一般形式為 `ax^2+bx+c=0` 方程式中有三個係數 `a`, `b`, `c`。 例如 `4x^2+x+2=0` 和 `2x^2-2x-3=0` 都是（一元）二次方程式。
二次方程式的解可以得出兩個根 `x_1` 和 `x_2`。 二次方程式可以表示為以下形式： ` (x - x_1)(x - x_2) = 0`.
解二次方程式的常用方法有以下三種：
- 透過因式分解。
- 透過完全平方公式。
- 透過使用二次公式。
因式分解
如果我們要 `x^2 + 5x + 6 ` 進行因式分解， 我們需要兩個數字，其和為 5，乘積為 6。數字是 3 和 2， 因式是 `(x+3)` 和 `(x+2)`。 因此。
`(x+3)(x+2) = 0 `
如果兩個方程式的乘積為零，則其中一個因式必須等於零。 因此，要麼 `x+3=0` 或 `x+2=0`。 第一個解會是 `x=-3`，第二個解會是 `x=-2`。 這二個值是方程式的根（解）。
完全平方公式法求解
例如： `ax^2+bx+c=0` => `2x^2 + 3x + 1 = 0 (a=2, b=3, c=1)`
我們必須把左手邊變成一個完美的完全平方公式。
- 將變數x項移到同一側。
`2x^2 + 3x + 1 = 0 (a=2, b=3, c=1)` - 通過除以係數`a`使`x^2` 的係數等於 1。
`b/a = 3/2 , c/a = 1/2 => x^2 + (3/2)x + 1/2 = 0 ` - 完成平方：
- 求
x
係數的一半，即 ` (1/2 . b/a) = 3/2` - 將其平方： ` (1/2 . b/a)^2 = b^2/(4a^2) = 9/16`
- 並將上列計算結果添加到等式的兩邊
`x^2 + (3/2)x + 1/2 + 9/16 = 9/16 ` - 從兩邊取 `c/a = (1/2)`：
`x^2 + (3/2)x + 9/16 = 9/16 - 1/2 = 1/16 `
- 求
-
左邊是完全平方公式，將其因式分解。
`(x + 3/4)^2 = 1/16 ` -
右邊是完全平方公式，將其因式分解。 兩邊同時開平方根：
`x + 3/4 = ±1/4 ` => `x + 3/4 + 1/4` or `x + 3/4 - 1/4` - `therefore x_1 = -1 ` or `x_2 = -2/4 = -0.5`
使用二次公式求解
當 `a != 0`時， `ax^2 + bx + c = 0` 有兩種解決方案，它們是
`x = (-b +- sqrt(b^2-4ac))/(2a) `
平方根內的表達式稱為判別式，以 `Delta`表示。
`Delta = b^2-4ac `
這個表達式很重要，因為它可以告訴我們解決方案：
- 當 `Delta > 0`時， 有兩個實數根： `x_1 = -b + sqrt(Delta)`/`(2a)` 和 `x_2 = -b - sqrt(Delta)`/`(2a)`.
- 當 `Delta = 0`時， 有一個根： `x_1 = x_2 = -b `/`(2a)`.
- 當 `Delta < 0`時， 沒有實根，有兩個複根.
例如： #1: `2x^2 + 9x + 1 = 0`
`a=2, b=9, c=1 ` `(Delta > 0)`
`x = -9 + sqrt(81 - (4 times 2 times 1))/(4) `
`x = (-9 + sqrt(81 - 8))/(4) `
`x = (-9 + sqrt(73))/(4) `
`x = -0.115 `
另一個根是：
`x = (-9 - sqrt(73))/(4) `
`x = -4.385 `
例如： #2: `3x^2 + 5x + 2 = 0`
`a=3, b=5, c=2 ` `(Delta > 0)`
`x_1 = -2`/`3, x_2 = -1 `
例如： #3: `3x^2 - 6x + 3 = 0`
`a=3, b=-6, c=3 ` `(Delta = 0)`
`x_1 = x_2 = 1`
例如： #4: `x^2 + 2x + 5 = 0`
`a=1, b=2, c=5 ` `(Delta < 0)`
沒有真正的解決方案
關鍵文獻
- Stafford L.W.T. Business Mathematics archive.org Macdonald and Evans, Plymouth. 1979 2nd ed 384pp
- Guzman, Jefferson Huera. 20 Quadratic Equation Examples with Answers en.neurochispas.com/algebra 2024
- National Science Foundation: Libretext — Mathmatics. 11.4: Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula math.libretexts.org/Courses/
- Wikipedia Order of operations en.wikipedia.org/wiki/